1.
Вы знакомы с римскими цифрами. Первые три из них — I, V, X. Их легко
изобразить, используя палочки или спички. Ниже написано несколько
неверных равенств. Как можно получить из них верные равенства, если
разрешается переложить с одного места на другое только одну спичку
(палочку)? 1) VII — V = XI; 2) IX — V = VI; 3) VI — IX = III; 4) VIII — III = X.
2. Какие числа записаны римскими цифрами: 1) MCMXCIX; 2) CMLXXXVIII; 3) MCXLVII? Что это за числа?
3. В некоторой непозиционной системе счисления цифры обозначаются
геометрическими фигурами. Ниже представлены некоторые числа этой системы
счисления и соответствующие им числа десятичной системы счисления:
Определите числовой эквивалент символов
4. Трехзначное десятичное число оканчивается цифрой 3. Если эту цифру
переместить на два разряда влево, т.е. с нее будет начинаться запись
нового числа, то это новое число будет на единицу больше утроенного
исходного числа. Найдите исходное число.
5. Шестизначное число оканчивается цифрой 4. Если эту цифру переставить
из конца числа в начало, то есть приписать ее перед первой, не изменяя
порядка остальных пяти, то получится число, которое в четыре раза больше
первоначального. Найдите это число.
6. Некогда был пруд, в
центре которого рос один лист водяной лилии. Каждый день число таких
листьев удваивалось, и на десятый день вся поверхность пруда уже была
заполнена листьями лилий. Сколько дней понадобилось, чтобы заполнить
листьями половину пруда? Сосчитайте, сколько листьев выросло к десятому
дню.
7. Этот случай вполне мог иметь место во времена «золотой лихорадки». На
одном из приисков старатели были возмущены действиями Джо Макдональда –
хозяина салуна, принимавшего от них в уплату золотой песок. Очень уж
необычными были гири, с помощью которых тот взвешивал золото: 1, 2, 4,
8, 16, 32 и 64 грамма. Джо утверждал, что с помощью такого набора гирь
он может взвесить любую порцию золотого песка, не превышающую 100
граммов. Прав ли Джо Макдональд? Какой наибольший вес могут "взять"
такие гири? Как с помощью названных гирь набрать вес: 1) 24; 2) 49; 3) 71; 4) 106.
8. Найдите такой набор из 5-ти гирь, чтобы располагая их на одной чаше
весов, можно было бы взвесить любой груз до 31 кг включительно.
9. Каким наименьшим числом гирь можно взвесить груз от 1 до 63 кг с точностью до 1 кг, помещая гири только на одну чашку весов?
10. У одного путешественника не было денег, но была золотая цепочка из
семи звеньев. Хозяин гостиницы, к которому обратился путешественник с
просьбой о ночлеге, согласился держать постояльца неделю, если тот будет
давать ему ежедневно в виде платы одно из звеньев цепочки. Какое одно
звено достаточно распилить, чтобы путешественник мог ежедневно в течение
семи дней расплачиваться с хозяином гостиницы? (При расчете хозяин
может возвращать полученные у него раньше звенья.)
11. Можно ли с помощью трех гирь (1, 3 и 9 кг) взвесить с точностью до 1
кг любой груз до 13 кг включительно, если гири можно располагать на
обеих чашах весов, в том числе и на чаше с грузом?
12. Кладовщик одного склада оказался в большом затруднении: заказанный
комплект гирь для простых чашечных весов не прибыл к сроку, а на
соседнем складе лишних гирь тоже не было. Тогда он решил подобрать
несколько кусков железа разной массы и временно пользоваться ими как
гирями. Ему удалось выбрать такие четыре «гири», с помощью которых можно
было бы взвешивать с точностью до 100 г товар от 100 г до 4 кг.
Подумайте, какой массы были эти «гири».
13. «Чудесная таблица». Изобразим все числа от 1 до 15 в двоичной
системе. Выпишем эти числа в занумерованные четыре строки, придерживаясь
следующего правила: в строку I записываем все числа, в двоичном
изображении которых есть единицы первого разряда (сюда попадут все
нечетные числа); в строку II записываем все числа, у которых есть
единицы второго разряда; в строку III — числа, имеющие единицы третьего
разряда, и в строку IV — числа, имеющие единицу четвертого разряда.
Таблица будет иметь вид:
Теперь
можно кому-нибудь предложить задумать любое число от 1 до 15 и указать
все строки таблицы, в которых оно записано. Пусть, к примеру, указали,
что задуманное число находится в строках I и III. Значит, задуманное
число содержит единицы первого и третьего разрядов, а единиц второго и
четвертого разрядов в нем нет. Следовательно, задумано число 1012=510. Изобразите
все числа от 1 до 31 в двоичной системе и заполните соответствующую
таблицу из пяти строк. Попробуйте провести эту игру со своими друзьями.
14. Используя метод разностей запишите следующие числа 1) в восьмеричной системе счисления: 7, 9, 24, 35, 57, 64; 2) в пятеричной системе счисления: 9, 13, 21, 36, 50, 57; 3) в троичной системе счисления: 3, 6, 12, 25, 27, 29; 4) в двоичной системе счисления: 2, 5, 7, 11, 15, 25.
15. Для записи больших десятичных чисел в других системах счисления,
надо данное число нацело разделить на основание новой системы, частное
опять разделить на основание новой системы и так до тех пор, пока не
получим частное, меньшее основания новой системы. Воспользуйтесь этим
правилом для перевода числа 2005 в следующие системы счисления: 1) в восьмеричную; 2) в пятеричную; 3) в двоичную.
16. Задача-игра «Угадывание задуманного числа по отрезкам». Один из
учеников (ведущий) задумывает некоторое трехзначное число, мысленно
делит задуманное число пополам, полученную половину опять пополам и т.
д. Если число нечетное, то от него отбрасывается единица. При каждом
делении ведущий чертит на доске отрезок, направленный вертикально, если
делится нечетное число, и горизонтально, если делится четное число. Как
на основании полученной фигуры безошибочно определить задуманное число?
17. Какое минимальное основание имеет система счисления, если в ней
записаны числа 123, 222, 111, 241? Определите десятичный эквивалент
данных чисел в найденной системе счисления.
18. Запишите наибольшее двузначное число и определите его десятичный эквивалент для следующих систем счисления: 1) в восьмеричной системе счисления; 2) в пятеричной системе счисления; 3) в троичной системе счисления; 4) в двоичной системе счисления.
19. Запишите наименьшее трехзначное число и определите его десятичный эквивалент для следующих систем счисления: 1) в восьмеричной системе счисления; 2) в пятеричной системе счисления; 3) в троичной системе счисления; 4) в двоичной системе счисления.
20. Упорядочить следующие числа по убыванию: 1436, 509, 12223, 10114, 1100112, 1238.
21. Чему равно х в десятичной системе счисления, если х = 103 + 102
