Ответы и решения
1. Будьте внимательны — в каждом примере перенесена только одна спичка (палочка). Существуют и другие варианты решения.VI + V=XI XI—V=VI
VI = IX-III VIII + II=X
2.
1) M(1000)CM(1000-100)XC(100-10)IX(10-1) →1999;
2) 988;
3) 1147.
3. 1, 10, 100 и 1000.
4. Исходное число ab3 = a * 100 + b * 10 + 3, новое число 3ab = 3 * 100 + a * 10 + b. По условию 3 * 100 + a * 10 + b = 3 * (a * 100 + b * 10 + 3) +1, 3*100+a*10+b=3*a*100+3*b*10+10, 3*100+a*10+b=3*a*100+(3*b+1)*10+0. Учитывая, что a и b — десятичные цифры, имеем: b=0 и a=1. Таким образом, исходное число 103.
5. Из условия задачи следует, что
4abcde=4*abcde4. (1)
Представим каждое число в виде суммы разрядных слагаемых:
4abcde=4*100000+a*10000+b*1000+c*100+d*10+e; (2)
4*abcde4=4*(a*100000+b*10000+c*1000+d*100+e*10+4)=
=4*(a*100000+b*10000+c*1000+d*100)+4*e*10+16=
=4*(a*100000+b*10000+c*1000+d*100)+(4*e+1)*10+6. (3)
Так как рассматриваемые числа равны, то число единиц в них совпадает и e=6. Подставим значение е в выражение (3):
4*(a*100000+b*10000+c*1000+d*100)+(4*6+1)*10+6=
=4*(a*100000+b*10000+c*1000+d*100)+25*10+6=
=4*(a*100000+b*10000+c*1000)+(d+2)*100+5*10+6. (3’)
Сравнивая (3) и (3’) заключаем, что d=5.
Проводя аналогичные рассуждения получаем: c=2, b=0, a=1.
Окончательный результат — число 102 564.
6. Для наглядности составим таблицу:
Ответ: 9 дней, 512 листьев.
7. Наибольший вес получится, если задействовать все гири: 1+2+4+8+16+32+64=127.
1) 25=16+8+1;
2) 48=32+16;
3) 72=64+8;
4) 105=64+32+8+1.
8. 1, 2, 4, 8 и 16 кг.
9. 1, 2, 4, 8, 16 и 32 кг.
10. Следует распилить третье звено. В этом случае у путешественника будут отдельно 1 (распиленное), 2 и 4 звена. Ими он сможет расплачиваться за 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7 дней проживания в гостинице.
11. Решение представим в виде таблицы:
12. «Гири» имели массу 100, 300, 900 и 2700 г.
13.
14. Целесообразно пользоваться вот такой табличкой:
1) 7,11,30,43,71,100;
2) 14,23,41,121,200,212;
3) 10, 20,110,221,1000,1002;
4) 10, 101, 111, 1011, 1111, 11001.
15.
1) 3725;
2) 31010;
3) 11111010101.
16. Вместо горизонтальных отрезков следует зависать нули, вместо вертикальных 1, переписать число справа налево и перевести из двоичной системы счисления в десятичную.
17. Минимальное основание системы счисления — 5.
Чтобы найти десятичный эквивалент чисел, записанных в пятеричной системе счисления, представим каждое число в виде суммы соответствующих разрядных слагаемых:
1235=1*25+2*5+3*1=3810.
2225=6210; 1115=3110; 2415=7110.
18.
1) 778=6310;
2) 445=2410;
3) 223=810;
4) 112=310.
19.
1) 1008=6410;
2) 1005=2510;
3) 1003=910;
4) 1002=410.
20. Переведем все числа в десятичную систему:
1436=6310; 509=4510; 12223=5310; 10114=6910; 1100112=5110; 1238=8310.
Ответ: 1238, 10114, 1436, 12223, 1100112, 509.
21. х = 3 + 2 * 5 = 13.
22. «Переведем» условие задачи в двоичную систему счисления. В классе 60% девочек и 12 мальчиков. Следовательно, в классе 30 учеников.
23. Может, если считать, что все данные приведены в двоичной системе.
24. Оформим таблицы сложения аналогично той, что приводится на тетрадях в клетку:
1)
2)
25. Сложение удобно выполнять в столбик.
1) 1111;
2) 10111;
3) 10111;
4) 1100;
5) 100010;
6) 11000.
26.
1) 222;
2) 11000.
27.
1) 330;
2) 1101.
28.
1) 131;
2) 1041.
29. Решение. 120
+110
1000
Проанализировав результат выполнения операции сложения получим q=3, так как только в троичной системе счисления 2+1=10.
30. Справедливо равенство:
88q=32q +22q+16q +17q. Перейдем к десятичной системе счисления:
8*q+8=3*q+2+2*q+2+1*q+6+1*q+7;
8*q-3*q-2*q-1*q-1*q=2+2+6+7-8;
q=9.
Таким образом, деревья посчитаны в девятеричной системе счисления.
31. Решение. 13
+54
100
3+4=10 в семеричной системе счисления.
32. Решение. 53
+53
136
5+5=13 в семеричной системе счисления.
33. Так как 5+5=12, то речь идет о восьмеричной системе счисления. Так что мальчик наш абсолютно нормальный ребенок, изучивший восьмеричную систему счисления.
34. Недесятичная система счисления - вот единственная причина кажущейся противоречивости приведенных чисел. Основание этой системы определяется фразой: "спустя год (после 44 лет), 100-летним молодым человеком..." Если от прибавления одной единицы число 44 преображается в 100, то, значит, цифра 4 - наибольшая в этой системе (как 9 - в десятичной), а, следовательно, основанием системы является 5. Можно высказать предположение, что все числа в автобиографии записаны в пятеричной системе счисления и путем несложных преобразований восстановить их истинный смысл.
35. Переведем все в десятичную систему счисления и выполним вычисления в соответствии с условием задачи: 47 – 12 + 7 = 42.
36.
а) 2421
+1232
4203
5-ричная с/с
б) 5255
+4327
11604
8-ричная с/с
в) 21102
+21212
120021
3-ичная с/с
г) 425
-136
256
7-ричная с/с
д) 1536
-642
674
8-ричная с/с
37.
1) В 2-й с/с.
2) В 3-й с/с.
3) В любой с/с с нечетным основанием.
4) В 5-й с/с.
5) В 6-й с/с.
6) В 5-й с/с.
7) В 6-й с/с.
8) В 9-й с/с.
9) В 8-й с/с.
10) В 8-й с/с.
38.
1) 12*3- 4=32;
2) 12 :2- 2=4;
3) 12*2*2=48;
4) 12-2:2=11;
5) 12 -3* 4=0.
39. Монеты можно разложить так 1,2,4,8,16,32,64,128 и 45 копеек.
40. 31, 100, 121, 10000.
